数学运算：工程、行程与利润问题

一、这个知识点考什么

数量关系是国考行测中区分度最高的模块，而工程、行程、经济利润、浓度这四类问题又是数学运算里最稳定、最容易反复得分的题型。它们的共同特点是情景生活化，几乎不需要额外背景知识，考的全是把文字条件翻译成等式的能力。命题人通常只给两三个已知量，要求在一分钟左右算出结果，所以这类题既考公式熟练度，也考计算的准确度。

从命题规律看，工程问题常以两人或多人合作、中途有人离开或休息、按效率比分配的形式出现；行程问题偏爱相遇追及、流水行船、等距离往返的平均速度；经济利润题几乎必考“成本—定价—打折—利润”这条链条；浓度问题则围绕溶质守恒和混合配比设置。这几类题的答案绝大多数是整数或整齐的小数、分数，式子列对了几乎不会算错，失分主要来自三处：公式记混、分母取错、被“取平均”的直觉带偏。因此复习时要做到两点：每个模型都能随手写出公式，每类条件都能对应一种设特值的方法。

二、核心知识与方法

（一）工程问题：设特值、效率比与合作

工程问题的基本关系只有一条：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。多人同时工作时，合作效率 = 各人效率之和，于是 合作时间 = 工作总量 ÷ 效率和。

难点在于题目往往只给时间、不给总量。这时要用设特值（赋值法）把抽象的比例变成好算的数：

1. 给的是各自单独完成的时间：把工作总量设成这些时间的最小公倍数，各人效率就是总量除以各自时间，全是整数。例：甲单独 12 天、乙单独 18 天，取总量 36，则甲效率 3、乙效率 2，合作时间 36 ÷ (3 + 2) = 7.2 天。
2. 给的是效率比：直接把效率设成比例数（如 3∶2 就设 3 和 2），总量设为“效率和 × 合作时间”。例：效率比 3∶2，合作 12 天，设效率 3 和 2，总量 (3 + 2) × 12 = 60，甲单独需 60 ÷ 3 = 20 天。
3. 只求时间之间的比例、不求具体量：可把总量设为 1，效率取时间的倒数，计算中约分即可。
4. 两人合作、其中一人中途休息或离开：总量守恒，先算“全程在场的那个人”完成的部分，用总量减去它，剩下的由另一人按自己的效率补完，再倒推他的实际工作天数与休息天数。
5. 给出两两合作的时间、求三人合作：三组合作效率相加，正好等于三人效率和的两倍，即 三人效率和 =（甲乙效率和 + 乙丙效率和 + 甲丙效率和）÷ 2，再取倒数关系求合作时间。
6. 交替工作：甲做一天、乙做一天轮流，先求一个周期的完成量，用总量除以周期量得到完整周期数，再看余量轮到谁、需要几分之一天。

注意：设特值只改变数据的“大小”，不改变答案，所以可以放心取最小公倍数；但一旦设了特值，所有量都必须放在同一个“总量—效率—时间”体系里换算，不能一半用份数、一半用天数。

（二）行程问题：相遇追及、流水行船与平均速度

行程的基本关系是 路程 = 速度 × 时间。所有复杂行程题都是它的变形，关键是先判断“谁和谁、按什么方向、走的是路程和还是路程差”。

1. 相遇（相向而行）：路程和 = 速度和 × 相遇时间。两地相距 S、两人速度分别为 v₁ 和 v₂ 同时相向出发，相遇时间 t = S ÷ (v₁ + v₂)。
2. 追及（同向而行）：路程差 = 速度差 × 追及时间。走得慢的人先出发形成的“领先距离”就是路程差，追及时间 t = 领先距离 ÷ (v₁ − v₂)。
3. 环形跑道：同地同时同向出发，第一次追上时快者恰好多跑一圈，故 追及时间 = 周长 ÷ 速度差；若反向出发，第一次相遇时两人合跑一圈，相遇时间 = 周长 ÷ 速度和。
4. 流水行船：顺水速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度，逆水速度 = 船速 − 水速。反过来，船速 =（顺水速度 + 逆水速度）÷ 2，水速 =（顺水速度 − 逆水速度）÷ 2。顺流、逆流路程相同时，时间与速度成反比。
5. 等距离往返的平均速度：往返路程相同而速度不同，平均速度不是两个速度的算术平均，而是 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间 = 2v₁v₂ ÷ (v₁ + v₂)。例：去时每小时 60 千米、回时每小时 40 千米，平均速度为 2 × 60 × 40 ÷ 100 = 48 千米/小时，明显低于算术平均的 50。
6. 火车过桥、过隧道：从车头上桥到车尾离桥，走过的路程是 车长 + 桥长，故 时间 =（车长 + 桥长）÷ 车速。若给出两次过桥（或过隧道）的数据，可联立两式：两次路程之差等于两个桥长之差，用它除以时间之差即得车速，再回代求车长。
7. 比例思想：时间相同时路程比等于速度比，路程相同时时间比等于速度的反比。善用它可以把很多题从“算”变成“比”。

（三）经济利润问题

核心链条是四个量：成本（进价）、定价（标价）、售价、利润。

• 利润 = 售价 − 成本，利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%
• 售价 = 成本 ×（1 + 利润率），成本 = 售价 ÷（1 + 利润率）
• 打折：折后售价 = 定价 × 折扣 ÷ 10，八折即原价的 80%，八五折即 85%
• 先按利润率定价再打折：折后利润率 =（1 + 原定利润率）× 折扣 ÷ 10 − 1
• 整批商品的利润：总利润 = 单件利润 × 销量。遇到“一部分按定价卖、一部分打折卖”，把两部分收入分别算出再相加，与“总成本 ×（1 + 实际利润率）”对等

经济利润题最好用的技巧是设成本为 100（或设为 1），这样利润率可以直接当成利润额使用，计算全部落在整数上；题目只涉及比例（打几折、利润率变化几个百分点）时，设成本为 100 不会影响结果。

（四）浓度问题

浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100%，其中 溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。解题只盯住不变量：加水或蒸发时溶质不变，加溶质时溶剂不变，两液混合时溶质与溶液都按比例相加。

• 加水稀释：溶质不变，由 原溶质 = 新浓度 × 新溶液质量 求新溶液，再减去原溶液即得加水量。
• 加溶质（如加盐）：溶质和溶液同时增加，设加入 x 克，列 (原溶质 + x) ÷ (原溶液 + x) = 目标浓度，此时分母必须同步加上 x。
• 两种溶液混合：设取第一种 x 克、第二种 y 克，列 c₁x + c₂y = c(x + y)。熟练后可用十字交叉：若 c₁ 大于 c 大于 c₂，则 x ∶ y =（c − c₂）∶（c₁ − c），即所取溶液质量与各自的浓度差成反比。
• 反复倒出再加水：每次倒出的比例为 p 并加满水，浓度变为原来的 (1 − p)，操作 n 次后浓度为 原浓度 × (1 − p)ⁿ。

三、典型易错点

1. 平均速度取算术平均：往返速度 60 和 40，正确答案是 48 而不是 50。只要两段路程相同，就必须用 2v₁v₂ ÷ (v₁ + v₂)。
2. 利润率的分母写成售价：利润率的分母永远是成本。已知售价和利润率求成本时要用除法 售价 ÷（1 + 利润率），不能直接乘。
3. 折扣换算错位：八折是 80%，“打八折后仍获利 25%”意味着 售价 = 成本 × 1.25，而售价又等于 定价 × 0.8，两条关系要分开列，不能混为一谈。
4. 浓度混合时拿溶质质量去配比：十字交叉得到的是溶液质量之比，不是溶质之比，求“取多少克”要用溶液质量。
5. 加盐题忘记溶液总量也增加：加盐后分母从原溶液变为“原溶液 + 加入量”，只改分子不改分母是最常见的错。
6. 流水行船把速度差当成水速：顺水与逆水的速度差是水速的两倍；船速 =（顺 + 逆）÷ 2 中的顺、逆指速度而不是时间。
7. 火车过桥少算车长：完全通过桥的路程是车长加桥长，只按桥长计算会使时间偏小。
8. 交替工作把余量算成整天：余量不足一个周期时，要按“轮到谁、还差多少、需要几分之一天”来算，最后的结果可能是分数天。

四、备考建议

1. 先背模型再刷题：把上面的公式整理成一页纸，每做完一道题就标注它属于哪个模型、用了哪种设特值方式，二十道题之后就能形成条件反射。
2. 优先用设特值：工程、利润、浓度三类题只要没有给具体总量，第一反应就是赋值（总量取最小公倍数、成本取 100、溶液取 100 克），可以省掉大量分数运算。
3. 养成验算习惯：把结果代回原题复核，例如把求得的时间代回效率关系看总量是否吻合，把求得的进价代回折扣关系看利润是否等于题给数值。
4. 控制单题时间：数学运算平均每题一分钟左右，遇到需要解二次方程或三式联立的题，先用比例思想和代入排除试探；超过两分钟仍未成式就果断放弃，把时间留给有把握的题。
5. 错题按错因归类：把错题分成“公式记错”“分母取错”“审题漏条件”三类，考前只看错因清单，比盲目重刷一遍更有效。