排列组合与概率

一、这个知识点考什么

排列组合与概率是国考数量关系中方法性最强的一类题。它不像工程、行程那样有固定的三量关系，而是先要判断这件事该怎么数，再决定用哪种计数工具。命题人习惯把题目包装成排队、选人、分物品、摸球、抽签、分组等生活场景，条件只给两三句，但每一句都对应一条限制，漏掉一条就会多算或漏算。

从近几年国考地市级真题看，这一块通常占数量关系的两到三题：一道是纯粹的选人或排队计数，一道是带至少、不相邻、相邻等限制的模型题，还有一道是概率计算。难度分布上，单纯套公式的属于送分题，带限制的排列组合与条件概率才是分水岭。它真正的难点不在运算，而在分类是否完整、是否重复计数、是否把有序和无序搞混。

因此复习这一块要抓住两条主线。第一条是数什么：先明确对象是否相同、顺序是否重要、限制是绝对还是相对。第二条是怎么数：加法原理处理分类，乘法原理处理分步，排列组合处理选取与顺序，捆绑、插空、隔板、错位处理特殊限制。两条主线清楚了，绝大多数题都能在两步之内列出式子，剩下的只是约分。

二、核心知识与方法

（一）分类与分步：加法原理与乘法原理

加法原理也叫分类计数原理：完成一件事有若干类互不重叠的办法，每一类都能独立把事情做完，则总方法数等于各类方法数之和。判断标志是或者、要么这样要么那样，各类之间不能同时发生。例如从甲地到乙地，可以坐 3 班火车，也可以坐 2 班汽车，则共有 3 + 2 = 5 种走法。

乘法原理也叫分步计数原理：完成一件事需要依次经过若干步骤，每一步都不可缺少，则总方法数等于各步方法数之积。判断标志是先怎样再怎样，缺一步事情就做不完。例如从甲地经乙地到丙地，甲到乙有 5 种走法，乙到丙有 4 种走法，则共有 5 × 4 = 20 种走法。

两条原理的区别只有一句话：分类用加法，分步用乘法。实际题目往往是先分类、类内再分步，即加法原理套乘法原理。用的时候要守住一条纪律：分类必须不重不漏，同一类里的做法不能在其他类里再出现一次；分步必须步步相接，每一步的选择数要按前面已经用掉的元素相应减少，尤其是不能重复使用的元素。

（二）排列与组合的区分

从 n 个不同元素中取出 m 个，且 m 不大于 n：

• 排列：取出后还要考虑顺序，A(n,m) = n × (n−1) × … × (n−m+1) = n! ÷ (n−m)!；
• 组合：取出后不考虑顺序，C(n,m) = A(n,m) ÷ m! = n! ÷ [m!(n−m)!]。

判断标准是交换两个元素是否产生新的结果：交换后是新结果就是排列，交换后还是同一结果就是组合。排队、站位、担任不同职务、密码编排属于排列；选代表、选委员、组队、取球属于组合。

几个常用结论要熟：C(n,m) = C(n,n−m)；C(n,0) = C(n,n) = 1；C(n,1) = n；C(n,2) = n(n−1) ÷ 2。另外，选出后再分配不同任务是组合与排列的复合：先组合选出人，再乘以任务的全排列数，两步缺一不可。

（三）常用模型：捆绑、插空、隔板与错位

1. 捆绑法，解决必须相邻。把要求相邻的若干个元素看成一个整体，与其余元素一起全排列，再乘以整体内部的全排列。例：3 男 2 女排成一排、2 女必须相邻，先把 2 女捆成 1 个大元素，共 4 个元素全排列 4! = 24，内部 2 女可互换 2! = 2，共 24 × 2 = 48 种。
2. 插空法，解决互不相邻。先排没有限制的元素，再把要求不相邻的元素插入它们形成的空隙，两端也算空隙。例：3 男 3 女排成一排、3 女互不相邻，先排 3 男 3! = 6，形成 4 个空隙，从中选 3 个放女生并排序 A(4,3) = 24，共 6 × 24 = 144 种。注意不相邻指任意两个都不相邻，插空后还要检查女生之间确实隔着男生；若题目只要求某两个不相邻，用总数减去相邻的情况更快。
3. 隔板法，解决相同元素分组。把 n 个相同元素排成一列，它们之间有 n−1 个空隙，插入 m−1 块隔板即可分成 m 组，方法数为 C(n−1, m−1)。例：10 个相同小球分给 3 人、每人至少 1 个，C(9,2) = 36 种。若允许某组为空，先把条件转化为 C(n+m−1, m−1)；若要求每组至少 k 个，先给每组预分 k−1 个，剩下的再隔板。
4. 错位排列，解决都不在原位。n 个元素全部不在原来的位置上，方法数记作 D(n)，有 D(1)=0、D(2)=1、D(3)=2、D(4)=9、D(5)=44，递推式为 D(n) = (n−1) × [D(n−1) + D(n−2)]。国考只考到 4 或 5，直接记住数值即可。若题目说恰有 k 个在原位，则先选出这 k 个，有 C(n,k) 种，其余 n−k 个全错位有 D(n−k) 种，两者相乘。

（四）古典概率与条件概率

古典概率的前提是试验结果有限且等可能，公式为 P(A) = A 包含的结果数 ÷ 总结果数。所以古典概率题本质上是一道计数题：分母数总情况，分子数满足条件的情况，两者都用排列组合算出来再约分。例：袋中 3 红 2 白，任取 2 个都是红球的概率为 C(3,2) ÷ C(5,2) = 3/10。

互斥与独立要分清。两个事件不能同时发生为互斥，此时 P(A 或 B) = P(A) + P(B)；两个事件的发生互不影响为独立，此时 P(AB) = P(A) × P(B)。求至少有一个发生，常用对立事件：P(至少一个) = 1 − P(一个都不发生)，这比正面分类快得多。

条件概率是已知 B 发生的条件下 A 发生的概率，记作 P_B(A)，公式为 P_B(A) = P(AB) ÷ P(B)。国考的题目多包装成已知什么求什么，也可能给两个车间的产量占比与次品率，求抽到次品后它来自某车间的概率。这时先算出总的次品率作分母，再用该车间的次品贡献作分子，切忌把产量占比直接当成答案。

三、典型易错点

1. 分类重复或遗漏。按至少一名女生分类时，分成 1 女 2 男 与 2 女 1 男 是对的；若分成先选 1 女、再在剩下的人里选 2 人，同一组人会被算多次，结果偏大。
2. 该用组合却用了排列。选 3 人组成小组，组内没有职务差别，只能用 C；只有明确分别担任不同职务时，才乘 3!。
3. 0 不能作首位。用数字组数时，首位不能是 0，必须单独处理，否则会把 012 这类不合法的排列算进去。
4. 相邻与不相邻混用。捆绑法只保证捆在一起，插空法只保证彼此隔开；甲乙不相邻未必等于所有女生都不相邻，读题时要盯住限制的主语。
5. 隔板法的前提被忽略。隔板法只适用于元素完全相同且每组至少一个，元素不同或允许为空都要先转化，否则式子连列都列不出来。
6. 错位排列记错数值。D(3)=2、D(4)=9 最常考，D(5)=44，不要与阶乘混淆；恰有 k 个在原位时还要乘上 C(n,k)。
7. 概率分母取错。古典概率要求等可能，若题目是先分组再抽取，分母应是分组后的总数，不能想当然用人数或球数。
8. 独立与互斥混淆。互斥是两个不能同时发生，独立是互不影响，两者不是一回事，只有互斥事件才有 P(AB)=0。

四、备考建议

1. 先判型再动笔。拿到题先问三句：元素是否相同，顺序是否重要，限制是相邻、不相邻、至少还是都不在原位。三问有答案，方法自然出来。
2. 背熟五组数。C(n,2)、C(10,3)=120、A(4,3)=24、D(3)=2、D(4)=9，考场上直接调用，省下推导时间。
3. 正难则反。出现至少、至多、不都等字眼时优先用总数减去对立面，通常能少算一大半情况。
4. 概率题写清分母。分母写总情况数，分子写符合条件的情况数，两步都落笔，避免心算出错。
5. 限时训练。这类题单题控制在一分半以内，超过两分钟就说明方法选错，应先跳过，把时间留给更有把握的题。