数量关系

对应大纲第六章。题量不大但区分度高：会做的题 1 分钟内出结果，不会做的题要敢于放弃。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择；以文字应用题为主，含少量数字推理。
• 能力要求：列方程、找等量关系、用比例与整除快速估算。
• 策略原则：先扫全卷，挑"能列式"的题做，剩余题统一猜同一选项，不在一道题上耗 3 分钟。

二、核心知识与方法

1. 工程问题

• 核心公式：工作总量 = 效率 × 时间；总量常设为 1 或各时间的最小公倍数。
• 合作问题：总效率 = 各效率之和；"甲先做、乙接手"分段算。
• 交替工作：按周期算效率，余量单独处理。

2. 行程问题

• 基本式：路程 = 速度 × 时间。
• 相遇：路程和 = 速度和 × 时间；追及：路程差 = 速度差 × 时间。
• 流水行船：顺水速度 = 船速 + 水速，逆水速度 = 船速 − 水速。
• 火车过桥：完全通过的路程 = 车长 + 桥长。

3. 经济利润与打折问题

• 利润 = 售价 − 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本；折扣 = 现价 ÷ 原价。
• "先提价再打折"与"先打折再提价"结果不同，必须按顺序算。
• 设成本为 100 可大幅简化百分比运算。

4. 浓度问题

• 浓度 = 溶质 ÷ 溶液；加水溶质不变，加溶质溶液与溶质同增。
• 混合问题用"十字交叉法"：两溶液质量比 = 浓度差的反比。

5. 排列组合与概率

• 分类用加法、分步用乘法；有序用排列 A(n,m)，无序用组合 C(n,m)。
• 相邻问题用"捆绑法"，不相邻用"插空法"，平均分组要除以组数的阶乘。
• 概率 = 满足条件的情况数 ÷ 总情况数；"至少"类问题用对立事件 1 − P。

6. 容斥原理

• 两集合：|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|。
• 三集合：|A∪B∪C| = 各集合之和 − 两两交集之和 + 三者交集。
• 只满足一个条件的量 = 总和 − 只满足两个的 − 三个都满足的（注意"只"与"至少"的口径）。

7. 年龄、日期与时钟问题

• 年龄差不变，年龄倍数随时间变小。
• 日期问题：平年 365 天、闰年 366 天，每过一个平年星期数后移 1 天，闰年后移 2 天。
• 时钟问题：分针每分钟 6°、时针每分钟 0.5°，两者速度差 5.5°/分；追及时间 = 角度差 ÷ 5.5°。

8. 植树问题与鸡兔同笼

• 植树：两端都栽 棵数 = 段数 + 1；只栽一端 棵数 = 段数；环形 棵数 = 段数。
• 鸡兔同笼：设全是鸡，多出来的脚数 ÷ 每只差 = 兔数；或用方程法。

9. 数列问题

• 等差数列：aₙ = a₁ + (n−1)d，Sₙ = n(a₁+aₙ)/2。
• 等比数列：aₙ = a₁qⁿ⁻¹，Sₙ = a₁(1−qⁿ)/(1−q)（q≠1）。
• 数字推理先看差、再看比、最后看平方立方与组合规律。

三、易错点

1. 工程题设总量为 1 后忘记把效率写成"1/时间"。
2. 相遇与追及混用"速度和/速度差"。
3. 打折题把"打八折"当成"降 8%"。
4. 排列组合中"平均分组"忘记除以组数阶乘。
5. 容斥题把"只满足两个"与"至少满足两个"混为一谈。
6. 植树题不区分两端是否栽种。
7. 时钟题把时针速度记成每分钟 6°。

四、备考建议

1. 把九类问题的"核心公式 + 一个典型例题"整理成一页纸。
2. 练"代入排除"与"整除特性"：很多题不必列方程，看尾数或倍数即可排除。
3. 限时训练：10 题 12 分钟，超时的题标记后放弃。
4. 错题只记"漏了哪个条件"，不要整题抄写。