函数、极限与连续

对应《数学 1》大纲第一章。极限是整个高等数学的地基：导数、积分、级数、多元微分的定义都靠极限，所以这一章的正确率直接决定后面几章的上限。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；计算量小，考"识别类型、选对方法"。
• 高频落点：两个重要极限、等价无穷小替换、无穷小阶的比较、间断点分类、连续与可导的关系。
• 能力要求：看到极限式能立刻判断属于"0/0""∞/∞""1^∞""∞−∞"中的哪一类，并选对应工具。

二、核心知识与方法

1. 重要极限

• 第一重要极限：lim(x→0) sin x / x = 1，推广为 lim(x→0) sin(ax)/(bx) = a/b。
• 第二重要极限：lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e，推广为 lim(x→∞) (1 + a/x)^(bx) = e^(ab)；1^∞ 型一律化为 e^{lim (底−1)×指数}。
• 常用结论：lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e，lim(x→0) (e^x − 1)/x = 1，lim(x→0) ln(1+x)/x = 1。

2. 无穷小的比较与无穷大量

• 设 α、β 为同一过程的无穷小，看 lim α/β：等于 0 则 α 是高阶无穷小，等于 ∞ 则 α 是低阶，等于非零常数 c 则同阶（c=1 为等价无穷小）。
• 等价无穷小替换（x→0）：sin x ~ x，tan x ~ x，arcsin x ~ x，arctan x ~ x，1 − cos x ~ x²/2，ln(1+x) ~ x，e^x − 1 ~ x，(1+x)^a − 1 ~ ax。
• 替换只能在乘除中使用，加减中替换要谨慎（可能把主部消掉）。
• 无穷大量与无穷小互为倒数；无穷大量不是"很大的数"，而是绝对值无限增大的变量。

3. 极限的计算、存在准则与数列极限

• 计算顺序：先代入 → 能化简就化简（因式分解、有理化）→ 等价替换或洛必达 → 重要极限。
• 存在准则：夹逼准则（0 ≤ aₙ ≤ bₙ 且 bₙ→0）、单调有界准则（单调递增且有上界则收敛）。
• 数列极限的性质：收敛数列必有界、极限唯一；子数列收敛于同一极限；lim aₙ 存在不能由"前有限项"决定。

4. 间断点及其类型

• 第一类（左右极限都存在）：可去间断点（左右极限相等但不等于函数值或无定义）、跳跃间断点（左右极限不等）。
• 第二类（至少一侧极限不存在）：无穷间断点、振荡间断点。
• 例：f(x) = (x²−1)/(x−1) 在 x=1 处是可去间断点；f(x) = 1/(x−1) 在 x=1 处是无穷间断点；sin(1/x) 在 x=0 处是振荡间断点。

5. 函数的连续性与连续、可导的关系

• 连续的定义：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)，等价于左极限 = 右极限 = 函数值。
• 闭区间上连续函数的性质：有界性、最值性、介值定理、零点定理。
• 可导必连续，连续不一定可导；反例 f(x) = |x| 在 x=0 处连续但不可导。可导的充分必要条件：左右导数存在且相等。

三、易错点

1. 在加减法中随意用等价无穷小替换，导致主部被消掉、得出 0。
2. 把 1^∞ 直接写成 1，忘记先化 e^{lim (底−1)×指数}。
3. 混淆"无穷大"与"无界"：无界不一定趋于无穷大（如 x sin x）。
4. 判断间断点类型时不看左右极限，只看函数是否无定义。
5. 认为"连续必可导"，把 |x| 这类尖点当作可导点。
6. 求 lim(x→∞) (1 + a/x)^(bx) 时把指数写成 a/b 而不是 ab。

四、备考建议

1. 把等价无穷小表抄成一页，做题前默写一遍。
2. 见到极限先标类型，再选工具，形成固定动作。
3. 间断点题画数轴标左右极限，不要凭印象。
4. 判断题重点记两个反例：|x|（连续不可导）、x sin(1/x)（极限存在但不连续）。