一元函数微分学

对应《数学 1》大纲第二章。导数与微分是"变化率"的数学表达，本章的题型高度程式化：求导、判单调与极值、求切线、用中值定理与洛必达。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；以计算为主，偶有概念判断。
• 高频落点：复合函数与参数方程求导、隐函数求导、极值与最值、凹凸性与拐点、渐近线、洛必达法则。
• 能力要求：算得准、算得快；概念题能区分"可导"与"连续"、"极值点"与"驻点"。

二、核心知识与方法

1. 导数的计算与参数方程求导

• 基本公式：(x^a)' = a x^(a−1)，(sin x)' = cos x，(cos x)' = −sin x，(e^x)' = e^x，(ln x)' = 1/x，(arctan x)' = 1/(1+x²)。
• 四则运算：(uv)' = u'v + uv'，(u/v)' = (u'v − uv')/v²。
• 复合函数（链式法则）：y = f(g(x)) 则 y' = f'(g(x))·g'(x)。
• 参数方程：x = x(t)，y = y(t)，则 dy/dx = y'(t)/x'(t)；二阶导 d²y/dx² = [d/dt(dy/dx)] / x'(t)。
• 高阶导数：(x^n)^(n) = n!，(e^x)^(n) = e^x，(sin x)^(n) = sin(x + nπ/2)。

2. 隐函数求导与可导性

• 隐函数 F(x,y)=0：两边对 x 求导，把 y 看作 x 的函数，解出 y'。
• 对数求导法适用于幂指函数 y = u(x)^(v(x))：先取对数再求导。
• 可导与连续：可导 ⇒ 连续，连续 ⇏ 可导；可导 ⇔ 左右导数存在且相等。
• 可导的几何意义：曲线在该点有唯一不垂直于 x 轴的切线。

3. 微分中值定理与洛必达法则

• 罗尔定理：闭区间连续、开区间可导、两端函数值相等 ⇒ 存在 ξ 使 f'(ξ)=0。
• 拉格朗日定理：f(b) − f(a) = f'(ξ)(b−a)。
• 柯西定理：[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)。
• 洛必达法则：只适用于 0/0 或 ∞/∞，且要求导数之比的极限存在（或为 ∞）；用前必须验证类型。

4. 函数极值

• 必要条件：可导极值点必为驻点（f'(x)=0）；驻点不一定是极值点。
• 第一充分条件：f' 由正变负为极大值，由负变正为极小值。
• 第二充分条件：f'(x₀)=0 且 f''(x₀)<0 为极大值，f''(x₀)>0 为极小值。
• 闭区间最值：比较驻点与端点的函数值。

5. 曲线的凹凸性与渐近线

• 凹凸性：f''>0 为凹（下凸、开口向上），f''<0 为凸（上凸）；f'' 变号处为拐点。
• 水平渐近线：lim(x→∞) f(x) = b。
• 铅直渐近线：lim(x→a) f(x) = ∞，则 x=a 为铅直渐近线。
• 斜渐近线：k = lim f(x)/x，b = lim [f(x) − kx]，则 y = kx + b。

三、易错点

1. 参数方程求二阶导时直接对 y'(t)/x'(t) 再求一次 t 的导数，漏除以 x'(t)。
2. 隐函数求导漏掉 y 的链式因子（把 (y²)' 写成 2y）。
3. 把"驻点"等同于"极值点"。
4. 用洛必达前不验证类型，对 0·∞、∞−∞ 直接套用。
5. 凹凸性判断方向记反（f''>0 是凹、开口向上）。
6. 求斜渐近线只算 k 不算 b。

四、备考建议

1. 基本导数公式与四则、链式法则必须做到"看到就写"。
2. 每道求导题做完回代检验一次（如把 x=1 代入数值核对）。
3. 极值与最值题画单调性表格，避免漏端点。
4. 中值定理只记三个定理的条件与结论，不背证明。