一元函数积分学

对应《数学 1》大纲第三章。积分是求导的逆运算，题型集中在"算出来"和"用性质判断"，方法选择比计算技巧更重要。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；以计算与性质判断为主。
• 高频落点：不定积分与换元、分部积分、定积分的性质与计算、变上限积分求导、广义积分敛散性、定积分的几何应用。
• 能力要求：先判断"能否直接套公式"，再决定换元、分部还是利用奇偶性。

二、核心知识与方法

1. 不定积分与换元积分法

• 基本积分表：∫x^a dx = x^(a+1)/(a+1) + C (a≠−1)，∫dx/x = ln|x| + C，∫e^x dx = e^x + C，∫cos x dx = sin x + C，∫dx/(1+x²) = arctan x + C。
• 第一类换元（凑微分）：∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du，例如 ∫2x·e^(x²)dx = e^(x²) + C。
• 第二类换元：根式用三角代换（√(a²−x²) 用 x=a sin t），去根号后再积分。
• 结果必须带常数 C，这是选择题的常见陷阱。

2. 分部积分法

• 公式：∫u dv = uv − ∫v du。
• 选 u 的顺序（"反对幂指三"）：反三角、对数、幂、指数、三角，排在前面的优先作 u。
• 典型：∫x e^x dx = (x−1)e^x + C，∫x ln x dx = (x²/2)ln x − x²/4 + C。

3. 定积分的计算与性质

• 牛顿—莱布尼茨公式：∫(a→b) f(x)dx = F(b) − F(a)。
• 性质：线性、区间可加、保号性、估值定理；∫(a→a) = 0，∫(a→b) = −∫(b→a)。
• 对称区间：奇函数积分为 0，偶函数积分为 2∫(0→a)。
• 周期函数在一个周期上的积分与起点无关。

4. 变上限积分与原函数存在定理

• Φ(x) = ∫(a→x) f(t)dt，若 f 连续则 Φ'(x) = f(x)；若上限是 g(x)，则 Φ'(x) = f(g(x))·g'(x)。
• 原函数存在定理：连续函数必有原函数；有第一类间断点的函数在含该点的区间上不存在原函数。
• 变上限积分是"构造新函数"的常用工具，遇到 ∫ 与 x 混合的极限题优先想到它。

5. 广义积分

• 无穷限：∫(a→+∞) f(x)dx = lim(b→+∞) ∫(a→b) f(x)dx，极限存在则收敛。
• 瑕积分：被积函数在积分区间内无界（如 ∫(0→1) dx/√x），按极限定义判断。
• p 积分：∫(1→+∞) dx/x^p 当 p>1 收敛，p≤1 发散；∫(0→1) dx/x^p 当 p<1 收敛。

6. 定积分的应用

• 平面图形面积：S = ∫(a→b) [f(x) − g(x)]dx。
• 旋转体体积：绕 x 轴 V = π∫(a→b) f²(x)dx。
• 弧长：L = ∫(a→b) √(1 + f'²(x))dx。
• 变力做功、液体压力等物理应用按"微元法"列式。

三、易错点

1. 不定积分忘记写 + C。
2. 换元后忘记把上下限一起换（定积分换元必须换限）。
3. 把 ∫dx/x 写成 ln x（应为 ln|x|）。
4. 变上限积分求导漏乘上限函数的导数。
5. 判断广义积分敛散性时直接算原函数，忽略瑕点。
6. 偶函数在对称区间上的积分忘记乘 2。

四、备考建议

1. 背熟基本积分表，尤其是 1/x、1/(1+x²)、1/√(1−x²) 三个。
2. 每道积分题先问"能不能凑微分"，再问"要不要分部"。
3. 定积分计算完用"求导回代"验算一次。
4. 广义积分只记 p 积分的两个结论，复杂题按定义写极限。