空间解析几何与多元函数微积分

对应《数学 1》大纲第四、五、六章（向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学）。三章合并为一个学习单元，因为空间几何是多元微积分的几何背景，公式彼此咬合。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；计算量中等，方法固定。
• 高频落点：数量积与向量积、平面与直线方程、偏导数与全微分、方向导数与梯度、二重积分与三重积分、格林公式与高斯公式、曲线积分与路径无关。
• 能力要求：会写方程、会算偏导、会把重积分化成累次积分、会用公式把曲线/曲面积分转成重积分。

二、核心知识与方法

1. 向量的运算：数量积、向量积与模

• 数量积：a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃；a⊥b ⇔ a·b = 0。
• 向量积：|a×b| = |a||b|sinθ，方向按右手法则；a∥b ⇔ a×b = 0，即对应坐标成比例。
• 模：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)；单位向量 a/|a|。
• 混合积 [a b c] = (a×b)·c，其绝对值等于平行六面体体积；三向量共面 ⇔ 混合积为 0。

2. 平面方程与直线方程

• 点法式：A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0，法向量 n = (A,B,C)。
• 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
• 直线：对称式 (x−x₀)/m = (y−y₀)/n = (z−z₀)/p，方向向量 s = (m,n,p)；参数式 x = x₀ + mt。
• 两平面夹角：cosθ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)；直线与平面夹角用 sinθ = |s·n|/(|s||n|)。
• 点到平面距离：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²)。

3. 球面方程与空间曲面

• 球面：(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = R²，球心 (a,b,c)、半径 R。
• 常见曲面：柱面（缺一个变量）、旋转抛物面 z = x² + y²、圆锥面 z² = x² + y²、椭球面。
• 空间曲线一般用两曲面交线表示，投影到坐标面时消去一个变量。

4. 偏导数、全微分与可微性

• 偏导数：对一个变量求导、其余视为常数；z = x^a y^b 则 ∂z/∂x = a x^(a−1) y^b。
• 全微分：dz = z_x dx + z_y dy；可微 ⇒ 偏导存在，偏导存在 ⇏ 可微（还需偏导连续）。
• 二阶偏导：z_xy = z_yx 在偏导连续时相等。

5. 复合函数与隐函数求导

• 复合：z = f(u,v)，u = u(x,y)，v = v(x,y)，则 z_x = f_u u_x + f_v v_x。
• 隐函数：F(x,y,z)=0 则 z_x = −F_x/F_z，z_y = −F_y/F_z。

6. 方向导数与梯度

• 方向导数：∂f/∂l = f_x cosα + f_y cosβ（cosα、cosβ 为方向余弦）。
• 梯度：grad f = (f_x, f_y)，方向导数最大值等于 |grad f|，方向沿梯度。
• 梯度垂直于等值线（面），是"增长最快"的方向。

7. 多元函数极值

• 必要条件：f_x = f_y = 0 得驻点。
• 充分条件：记 A = f_xx，B = f_xy，C = f_yy，Δ = AC − B²；Δ>0 且 A<0 为极大值，Δ>0 且 A>0 为极小值，Δ<0 非极值。
• 条件极值用拉格朗日乘数法。

8. 二重积分与三重积分的计算

• 直角坐标：∬D f dxdy = ∫dx ∫f dy，先画区域再定限（"先积后限"）。
• 极坐标：∬D f dxdy = ∫dθ ∫f(r cosθ, r sinθ)·r dr，别漏雅可比 r。
• 三重积分：直角坐标化成三次积分；先一后二或先二后一按区域形状选。

9. 柱面坐标系与球面坐标系

• 柱面：x = r cosθ，y = r sinθ，z = z，dV = r dr dθ dz。
• 球面：x = ρ sinφ cosθ，y = ρ sinφ sinθ，z = ρ cosφ，dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ。

10. 曲线积分与曲面积分：格林、高斯、斯托克斯公式

• 第一类曲线积分（对弧长）：∫L f ds，ds = √(x'² + y'²)dt。
• 第二类曲线积分（对坐标）：∫L P dx + Q dy。
• 格林公式：闭曲线 L 围成区域 D，∮L P dx + Q dy = ∬D (Q_x − P_y)dxdy。
• 路径无关：Q_x = P_y 且区域单连通时，积分与路径无关，可换路径或找原函数。
• 高斯公式：∯Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭Ω (P_x + Q_y + R_z)dV。
• 斯托克斯公式：空间闭曲线积分化为曲面积分，∮Γ P dx+Q dy+R dz = ∬Σ rot·n dS。

三、易错点

1. 极坐标二重积分漏乘 r。
2. 格林公式使用前不检查"闭曲线、正方向、单连通"三个条件。
3. 向量积方向搞反（右手法则）。
4. 直线与平面夹角公式用 cos 而不是 sin。
5. 可微与偏导存在混为一谈。
6. 球坐标体积元素漏 ρ² sinφ。
7. 条件极值忘记构造拉格朗日函数。

四、备考建议

1. 把"向量—平面/直线—曲面"三组公式抄在一页，互相对照记。
2. 重积分题一律先画区域图，再决定积分次序与坐标系。
3. 三大公式（格林、高斯、斯托克斯）只记形式与适用条件，不背推导。
4. 计算题做完用"特殊点/对称性"快速验算。