无穷级数与常微分方程

对应《数学 1》大纲第七、八章。两章的共同点是"先判类型、再套方法"：级数判敛散，方程判阶与线性性。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；以判敛、求收敛半径、解方程为主。
• 高频落点：幂级数收敛半径、正项级数审敛法、p 级数、交错级数与绝对收敛、一阶线性微分方程、二阶常系数齐次方程。
• 能力要求：能在一分钟内判断"用比值法还是根值法""是齐次还是非齐次""通解形式怎么设"。

二、核心知识与方法

1. 幂级数的收敛半径与和函数

• 对 Σ aₙ xⁿ：R = 1 / lim|aₙ₊₁/aₙ|（比值法）或 R = 1 / lim ⁿ√|aₙ|（根值法）。
• 收敛区间为 (−R, R)，端点 x = ±R 需单独代入判敛散。
• 常见结论：Σxⁿ 的 R = 1；Σ xⁿ/n! 的 R = +∞（即 e^x）；Σ n! xⁿ 的 R = 0。
• 和函数：在收敛区间内可逐项求导、逐项积分；Σ(n=0→∞) xⁿ = 1/(1−x)（|x|<1），Σ xⁿ/n! = e^x。

2. 正项级数审敛法与 p 级数

• 比较判别法：与已知敛散性的级数比较（极限形式看比值常数是否大于 0）。
• 比值判别法：lim aₙ₊₁/aₙ = ρ，ρ<1 收敛，ρ>1 发散，ρ=1 失效。
• 根值判别法：lim ⁿ√aₙ = ρ，结论同上。
• p 级数：Σ 1/n^p 当 p>1 收敛，p≤1 发散；调和级数 Σ1/n（p=1）发散。
• 等比级数 Σ qⁿ：|q|<1 收敛，|q|≥1 发散。

3. 交错级数与绝对收敛、条件收敛

• 莱布尼茨判别法：aₙ 单调递减且 lim aₙ = 0，则 Σ(−1)ⁿaₙ 收敛。
• 绝对收敛：Σ|aₙ| 收敛 ⇒ Σaₙ 收敛。
• 条件收敛：Σaₙ 收敛但 Σ|aₙ| 发散（如 Σ(−1)ⁿ/n）。
• 注意：绝对收敛是"更强"的收敛，不能反过来推。

4. 幂级数展开与傅里叶级数

• 常用麦克劳林展开：e^x = Σ xⁿ/n!，sin x = Σ(−1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)!，cos x = Σ(−1)ⁿ x^(2n)/(2n)!，ln(1+x) = Σ(−1)^(n−1) xⁿ/n（−1<x≤1），1/(1−x) = Σxⁿ（|x|<1）。
• 傅里叶级数：周期 2π 函数 f(x) ~ a₀/2 + Σ(aₙcos nx + bₙ sin nx)，系数由 aₙ = (1/π)∫(−π→π) f(x)cos nx dx、bₙ = (1/π)∫ f(x)sin nx dx 确定，积分区间取任意一个周期即可。
• 狄利克雷收敛定理：连续点收敛于函数值，间断点收敛于左右极限的平均值。

5. 级数收敛的必要条件

• Σaₙ 收敛 ⇒ lim aₙ = 0；逆命题不成立（调和级数是反例）。
• 因此 lim aₙ ≠ 0 可直接判发散，这是最快的判别路径。

6. 微分方程的阶与可分离变量方程

• 阶 = 方程中出现的最高阶导数的阶数；y' + 2y = 0 是一阶，y'' + y = 0 是二阶。
• 可分离变量：dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，再代初值定常数。
• 齐次方程：dy/dx = φ(y/x)，令 u = y/x 化为可分离变量。

7. 一阶线性微分方程

• 标准形：y' + P(x)y = Q(x)。
• 通解公式：y = e^(−∫P dx) [ ∫Q e^(∫P dx) dx + C ]。
• 例如 y' + y = 1：y = 1 + Ce^(−x)；y' + 2y = 4：y = 2 + Ce^(−2x)。
• 伯努利方程 y' + P y = Q yⁿ 用代换 z = y^(1−n) 化为一阶线性。

8. 可降阶的微分方程

• y'' = f(x)：连续积分两次。
• y'' = f(x, y')：令 p = y'，化为 p' = f(x,p)。
• y'' = f(y, y')：令 p = y'，则 y'' = p dp/dy。

9. 二阶常系数齐次线性微分方程

• 方程 y'' + py' + qy = 0，特征方程 r² + pr + q = 0。
• 两个不等实根：y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)。
• 重根 r：y = (C₁ + C₂x)e^(rx)。
• 共轭复根 α ± βi：y = e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx)。

10. 线性微分方程解的结构

• 齐次方程的通解 = 两个线性无关特解的线性组合。
• 非齐次方程的通解 = 对应齐次通解 + 一个特解。
• 叠加原理：右端为 f₁ + f₂ 时，特解可取各自特解之和。

三、易错点

1. 比值法得到 ρ = 1 就下结论（此时失效，要换方法）。
2. 收敛半径算出后忘记单独判端点。
3. 把"绝对收敛"与"收敛"互相替代。
4. 一阶线性方程忘记先化标准形（系数必须为 1）。
5. 二阶常系数方程重根时漏写 x 因子。
6. 幂级数展开忽略收敛域。
7. 判断收敛时用 lim aₙ = 0 直接得"收敛"。

四、备考建议

1. 级数判敛按"必要条件 → 比值/根值 → 比较 → 莱布尼茨"顺序试。
2. 收敛半径与展开式各背 5 个标准结果，考场直接套。
3. 微分方程先判"阶—线性—常系数"，再选通解形式。
4. 每道方程题解完求导回代验算。