行列式

对应《数学 1》大纲线性代数第一章。行列式是线性代数的"计算入口"：会算行列式，才能判可逆、解方程组、求特征值。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择为主；以二阶、三阶数值计算与性质判断为主。
• 高频落点：二阶/三阶行列式的值、行列式的性质（换行变号、倍加不变）、上三角与对角行列式、范德蒙德行列式。
• 能力要求：算得准（符号最容易错），并能用性质把行列式化成三角形。

二、核心知识与方法

1. 行列式的计算与特殊行列式

• 二阶：|a b; c d| = ad − bc。
• 三阶（对角线法则）：主对角线三项之和减去副对角线三项之和。
• 上（下）三角行列式与对角行列式：值等于主对角线元素之积。
• 计算策略：先用性质把某一行（列）化成只有一个非零元，再按该行（列）展开降阶。
• 例：|1 2; 3 4| = 1×4 − 2×3 = −2；|2 −1; 3 5| = 2×5 − (−1)×3 = 13。

2. 行列式的性质

• 转置不变：|Aᵀ| = |A|。
• 交换两行（列），行列式变号。
• 某一行（列）有公因子 k，可提到行列式外；即 |kA| = kⁿ|A|（n 阶）。
• 某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，行列式不变（最常用的化简手段）。
• 两行（列）成比例或相同，行列式为 0。
• 某一行（列）为两组数之和，可拆成两个行列式之和。
• 乘法：|AB| = |A||B|；|A⁻¹| = 1/|A|；|A*| = |A|^(n−1)。

3. 范德蒙德行列式

• 形如 V = |1 1 … 1; x₁ x₂ … xₙ; x₁² x₂² … xₙ²; …|，其值等于所有 (xⱼ − xᵢ)（i<j）的乘积。
• 三阶特例：|1 1 1; a b c; a² b² c²| = (b−a)(c−a)(c−b)。
• 识别特征：每行（列）是同一个数的 0,1,2,… 次幂。

三、典型例题

例 1　计算 |1 2 3; 0 1 4; 5 6 0|。

按第一行展开：1·|1 4; 6 0| − 2·|0 4; 5 0| + 3·|0 1; 5 6| = 1·(0−24) − 2·(0−20) + 3·(0−5) = −24 + 40 − 15 = 1。

例 2　已知三阶矩阵 A 满足 |A| = 3，求 |2A|、|A⁻¹|、|A*|。

|2A| = 2³|A| = 24；|A⁻¹| = 1/|A| = 1/3；|A*| = |A|² = 9。

例 3　计算 |1 1 1; a b c; a² b² c²|。

识别为三阶范德蒙德行列式，直接写 (b−a)(c−a)(c−b)。注意差值按"后列减前列"的顺序取，符号顺序颠倒会整体差一个负号。

四、易错点

1. 二阶行列式符号写反（把 ad − bc 写成 bc − ad）。
2. 三阶展开时副对角线项符号搞错。
3. |kA| 直接写成 k|A|，漏掉 n 次方。
4. 交换两行后忘记变号。
5. 把"某行乘 k 加到另一行"也当成变号操作。
6. 范德蒙德行列式漏项或写错差值顺序（差值为 0 时行列式为 0）。

五、备考建议

1. 练"化三角形"：固定用第一行消去下面各行的第一列。
2. 每算完一个三阶行列式，用另一条路径（按列展开）复核一次。
3. 性质只记五条，重点练"倍加不变"与"换行变号"。
4. 遇到含字母的行列式，先找公因子再展开。