矩阵与向量

对应《数学 1》大纲第二、三章（矩阵、向量）。矩阵是运算对象，向量组是"线性相关"这一核心概念的载体，两章合起来是线性代数的语言基础。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；计算以矩阵乘法、求逆、求秩为主。
• 高频落点：矩阵乘法与幂、逆矩阵、秩、线性相关性的判定、正交矩阵与标准正交基、施密特正交化。
• 能力要求：熟练掌握矩阵运算规则（不满足交换律），会用秩判断线性相关性。

二、核心知识与方法

1. 矩阵的乘法与矩阵的幂

• A(m×n)·B(n×s) = C(m×s)，cᵢⱼ = Σ aᵢₖ bₖⱼ（左行乘右列）。
• 不满足交换律（AB ≠ BA）、不满足消去律（AB = 0 不能推出 A = 0 或 B = 0）。
• 转置性质：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ，(A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ。
• 幂：A^k · A^m = A^(k+m)；对角矩阵的幂等于对角元各自取幂。
• 特殊矩阵的幂：A = [[1,1],[0,1]] 时 Aⁿ = [[1,n],[0,1]]，这是高频模型。

2. 逆矩阵

• 可逆的充要条件：|A| ≠ 0（非奇异）。
• 二阶求逆公式：A = [[a,b],[c,d]]，A⁻¹ = (1/(ad−bc))·[[d,−b],[−c,a]]。
• 性质：(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ，|A⁻¹| = 1/|A|。
• 初等变换法：[A | E] → [E | A⁻¹]。
• 伴随矩阵法：A⁻¹ = A*/|A|。

3. 矩阵的秩与对称矩阵

• 秩 = 非零子式的最高阶数 = 行阶梯形中非零行的个数 = 极大线性无关行（列）数。
• 性质：r(A) ≤ min(m,n)；r(AB) ≤ min(r(A), r(B))；可逆矩阵乘不改变秩。
• 求秩：初等行变换化为阶梯形，数非零行。
• 对称矩阵：Aᵀ = A；反对称矩阵：Aᵀ = −A（对角元全为 0）。
• 例：[[1,2,3],[2,4,6],[1,0,1]] 第二行是第三行的 2 倍，秩为 2。

4. 向量组的线性相关性与等价

• 线性相关：存在不全为 0 的系数使 k₁α₁ + … + kₙαₙ = 0；否则线性无关。
• 判定：向量个数大于维数必相关；n 个 n 维向量相关 ⇔ 行列式为 0 ⇔ 秩小于个数。
• 等价向量组：可互相线性表示，秩相等。
• 含零向量的向量组必相关；单个非零向量必无关。

5. 向量组的秩

• 向量组的秩 = 极大线性无关组所含向量个数。
• 求法：把向量作为行（或列）排成矩阵，作初等行变换，非零行数即秩。
• 秩与相关性：r < 向量个数 则相关；r = 向量个数 则无关。

6. 内积、正交与标准正交基

• 内积：(α,β) = α₁β₁ + … + αₙβₙ；α⊥β ⇔ (α,β) = 0。
• 单位化：α/|α|，其中 |α| = √(α,α)。
• 正交矩阵：AᵀA = E，等价于 A⁻¹ = Aᵀ，其列（行）向量构成标准正交基。
• 施密特正交化：β₁ = α₁，β₂ = α₂ − (α₂,β₁)/(β₁,β₁)·β₁，β₃ = α₃ − (α₃,β₁)/(β₁,β₁)·β₁ − (α₃,β₂)/(β₂,β₂)·β₂，最后逐个单位化。

7. 坐标、维数与子空间

• 基与维数：向量空间的一组基所含向量个数即维数；n 维空间中任意 n 个线性无关向量构成基。
• 坐标：向量在基下的线性表示系数。
• 子空间：对加法与数乘封闭的非空子集；解空间、列空间、零空间都是子空间。
• 过渡矩阵与坐标变换：新基 = 旧基 × 过渡矩阵。

三、易错点

1. 矩阵乘法顺序颠倒（AB 与 BA 不同）。
2. 求逆时忘记除以行列式。
3. 把 (AB)⁻¹ 写成 A⁻¹B⁻¹。
4. |kA| 与 k|A| 混淆。
5. 认为"秩相等即等价"（还需同型、可互相表示）。
6. 施密特正交化只做正交化、忘记单位化。
7. 判断相关时只看向量个数，不看维数与秩。

四、备考建议

1. 矩阵运算练到"手算不出错"，尤其是 2×2、3×3 乘法。
2. 求秩统一用初等行变换，养成写阶梯形的习惯。
3. 相关性判定优先算秩，比解方程组快。
4. 正交化按公式逐步写，不要跳步。