线性方程组

对应《数学 1》大纲线性代数第四章。线性方程组的解的结构，是"秩"的应用，也是后面特征值、二次型的基础。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；以解的判别、基础解系个数、解的结构为主。
• 高频落点：r(A) 与 r(A|b) 的关系、齐次方程组基础解系、非齐次通解结构、克拉默法则。
• 能力要求：会写增广矩阵、会化阶梯形、会用 n − r 算基础解系个数。

二、核心知识与方法

1. 齐次线性方程组与解空间

• 形如 Ax = 0，必有零解。
• 有非零解的充要条件：r(A) < n（n 为未知数个数）。
• 基础解系含 n − r(A) 个向量；通解为它们的任意线性组合。
• 解空间是 Rⁿ 的子空间，维数等于 n − r(A)。
• 当 m = n 时，有非零解 ⇔ |A| = 0。

2. 解的判别与基础解系

• 对增广矩阵 (A|b) 作初等行变换化为阶梯形。
• r(A) ≠ r(A|b) ⇒ 无解。
• r(A) = r(A|b) = n ⇒ 唯一解。
• r(A) = r(A|b) < n ⇒ 无穷多解，基础解系有 n − r 个向量。
• 求基础解系：化行最简形，把自由未知量依次取 1（其余取 0），回代求主元未知量。

3. 非齐次线性方程组解的结构

• 通解 = 对应齐次方程组的通解 + 非齐次方程组的一个特解。
• 若 η₁、η₂ 都是 Ax = b 的解，则 η₁ − η₂ 是 Ax = 0 的解。
• 解的个数：无解、唯一解、无穷多解，三者必居其一。
• 例：r(A) = r(A|b) = 2、n = 4 时，通解含 2 个自由参数。

4. 克拉默法则与同解方程组

• 克拉默法则：n 个方程 n 个未知数、|A| ≠ 0 时，xⱼ = |Aⱼ|/|A|，其中 Aⱼ 是把 A 的第 j 列换成 b 得到的矩阵。
• 适用前提：方程个数等于未知数个数且系数行列式非零；否则不能用。
• 同解方程组：两个方程组解集相同；初等行变换不改变解集，因此可用行变换化简。
• 齐次方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 同解 ⇔ r(A) = r(B) = r([A;B])。

三、典型例题

例 1　A 为 4×5 矩阵，r(A) = 3，求 Ax = 0 基础解系所含向量个数。

未知数个数 n = 5，基础解系个数 n − r(A) = 5 − 3 = 2。

例 2　判断 x₁ + x₂ + x₃ = 1、2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 3 的解的情况。

增广矩阵第二行是第一行的 2 倍，但常数项 2 ≠ 3，故 r(A) = 1、r(A|b) = 2，r(A) ≠ r(A|b)，方程组无解。

例 3　A 为三阶矩阵，|A| = 2，求 Ax = b 的解。

|A| ≠ 0，由克拉默法则方程组有唯一解 xⱼ = |Aⱼ|/|A|，无需具体求逆。

四、易错点

1. 只用 r(A) 判断，忘记比较 r(A|b)。
2. 基础解系个数写成 n − r(A|b)。
3. 把"无穷多解"当成"任意向量都是解"。
4. 非齐次通解漏掉特解，只写齐次通解。
5. 克拉默法则在 |A| = 0 时仍套用。
6. 自由未知量取值不独立（应取单位向量组）。

五、备考建议

1. 统一流程：写增广矩阵 → 化阶梯形 → 比秩 → 定解的情况 → 求基础解系。
2. 把 n − r 与"自由未知量个数"绑定记忆。
3. 非齐次题先求齐次通解，再凑一个特解。
4. 克拉默法则只记适用条件与结论，复杂题用消元法。