矩阵的相似化简与二次型

对应《数学 1》大纲线性代数第五、六章（矩阵的相似化简、二次型）。特征值是这两章的连接点：相似对角化靠特征值，二次型标准化也靠特征值。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；以特征值计算、可对角化判定、正定性判定为主。
• 高频落点：特征值与特征向量、相似对角化的充要条件、实对称矩阵的性质、二次型的矩阵表示、合同与惯性定理、正定二次型。
• 能力要求：会算 |A − λE| = 0、会用迹与行列式快速求特征值之和与积、会判正定。

二、核心知识与方法

1. 特征值与特征向量

• 定义：Aα = λα（α ≠ 0），λ 为特征值，α 为属于 λ 的特征向量。
• 求法：解特征方程 |A − λE| = 0，再对每个 λ 解 (A − λE)x = 0。
• 性质：Σλᵢ = tr(A)（主对角线之和），Πλᵢ = |A|；A 可逆 ⇔ 所有特征值非零。
• 特征向量不唯一（同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是特征向量），特征值唯一（计重数）。

2. 相似矩阵与相似对角化

• 相似：存在可逆 P 使 P⁻¹AP = B，记 A ~ B。
• 相似不变量：特征值、迹、行列式、秩。
• A 可对角化 ⇔ A 有 n 个线性无关的特征向量 ⇔ 每个特征值的几何重数等于代数重数。
• 充分条件：n 个互不相同的特征值 ⇒ 可对角化（反之不成立）。
• 对角化步骤：求特征值 → 求特征向量 → 以特征向量为列组成 P → P⁻¹AP = diag(λ₁,…,λₙ)。

3. 实对称矩阵

• 实对称矩阵的特征值全为实数，属于不同特征值的特征向量相互正交。
• 必可正交对角化：存在正交矩阵 Q 使 QᵀAQ = Q⁻¹AQ = diag(λ₁,…,λₙ)。
• 正交化的关键：同一特征值的特征向量先施密特正交化，再单位化。

4. 二次型的矩阵表示与标准形

• 二次型 f = xᵀAx，其中 A 为实对称矩阵（二次型的矩阵）。
• 写矩阵：平方项系数放对角线，交叉项 aᵢⱼxᵢxⱼ 的系数对半分到 (i,j) 与 (j,i)。
• 标准形：只含平方项 f = λ₁y₁² + … + λₙyₙ²（正交变换下系数即特征值）。
• 规范形：系数化为 1, −1, 0，个数由惯性指数决定。

5. 合同、相似与惯性定理

• 合同：存在可逆 C 使 CᵀAC = B；二次型经可逆线性变换后合同。
• 相似必合同（正交变换下二者一致），合同不一定相似。
• 惯性定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变换下不变。
• 两个实对称矩阵合同 ⇔ 正、负惯性指数分别相同。

6. 配方法与惯性指数

• 配方法：把含 x₁ 的项配成完全平方，再对剩余变量重复，直到只剩平方项。
• 惯性指数：标准形中正系数个数为正惯性指数 p，负系数个数为负惯性指数 q，p + q = r(A)。
• 正交变换法可直接由特征值的正负号读出惯性指数。

7. 正定二次型

• 定义：对任意 x ≠ 0 都有 xᵀAx > 0。
• 充要条件（四条等价）：正惯性指数 p = n；所有特征值大于 0；所有顺序主子式全大于 0；A 与单位矩阵 E 合同。
• 必要条件：|A| > 0（只是必要，不是充分）。
• 判定顺序：先看顺序主子式（计算量小），再用特征值复核。

三、易错点

1. 解特征方程时把 |A − λE| 写成 |λE − A| 后忘记符号影响（特征值不变，但展开易错）。
2. 认为"有重特征值就不能对角化"（要看几何重数）。
3. 认为"实对称矩阵一定相似于对角矩阵"却忘了"正交"对角化需要正交矩阵。
4. 二次型矩阵写错：交叉项系数忘记除以 2。
5. 把"合同"与"相似"混为一谈。
6. 用 |A| > 0 判正定（不充分，反例 [[−1,0],[0,−1]]）。
7. 顺序主子式只算一个就下结论。

四、备考建议

1. 特征值计算先看"迹与行列式"能否直接给出答案。
2. 判定可对角化：先数互异特征值，再查重根的几何重数。
3. 二次型题先写矩阵，再决定用正交变换还是配方法。
4. 正定性判定固定用"顺序主子式"，最后用特征值验算。