大数定律、中心极限定理与抽样分布

对应《数学 1》大纲概率论第五、六章（大数定律及中心极限定理、样本及抽样分布）。这一章从"单个随机变量"过渡到"样本"，是数理统计的入口。

一、这个知识点考什么

• 题型：单项选择 + 判断；以不等式、极限定理结论、统计量分布为主。
• 高频落点：切比雪夫不等式、伯努利与辛钦大数定律、中心极限定理的应用、样本均值的分布、χ²/t/F 分布与自由度。
• 能力要求：记住三类统计量的构造与自由度，会用中心极限定理做近似计算。

二、核心知识与方法

1. 切比雪夫不等式

• 对任意 ε>0：P(|X − μ| ≥ ε) ≤ σ²/ε²，等价形式 P(|X − μ| < ε) ≥ 1 − σ²/ε²。
• 只要求期望与方差存在，不要求分布已知，因此结论"粗糙但通用"。
• 例：σ² = 4、ε = 2 时上界为 4/4 = 1；ε = 4 时上界为 1/4。

2. 大数定律

• 伯努利大数定律：频率依概率收敛于概率，P(|n_A/n − p| < ε) → 1。
• 辛钦大数定律：独立同分布、期望存在，则样本均值依概率收敛于总体均值。
• 切比雪夫大数定律：独立、方差一致有界即可。
• 共同结论：样本量越大，样本均值越接近总体均值。

3. 依概率收敛

• 定义：对任意 ε>0，lim P(|Xₙ − a| < ε) = 1，记 Xₙ →P a。
• 依概率收敛弱于几乎处处收敛；大数定律给出的正是依概率收敛。
• 依概率收敛的四则运算保持（分母极限非零）。

4. 中心极限定理

• 林德伯格—列维：独立同分布、E(X)=μ、D(X)=σ²，则 (ΣXᵢ − nμ)/(σ√n) → N(0,1)。
• 实用形式：ΣXᵢ 近似服从 N(nμ, nσ²)，样本均值近似 N(μ, σ²/n)。
• 二项分布的正态近似：X ~ B(n,p) 近似 N(np, np(1−p))，n 较大、p 不接近 0 或 1 时效果好。
• 例：B(100, 0.4) 近似 N(40, 24)。

5. 样本、统计量与抽样分布

• 简单随机样本：与总体同分布且相互独立。
• 统计量：不含未知参数的样本函数（如样本均值、样本方差）。
• 常用统计量：X̄ = (1/n)ΣXᵢ，S² = (1/(n−1))Σ(Xᵢ − X̄)²。

6. 样本均值与样本方差

• 正态总体下 X̄ ~ N(μ, σ²/n)，即 (X̄ − μ)/(σ/√n) ~ N(0,1)。
• E(S²) = σ²（无偏性），这是除以 n−1 的原因。
• 正态总体下 X̄ 与 S² 相互独立，这是构造 t 统计量的基础。

7. χ² 分布

• 设 X₁,…,Xₙ 独立同服从 N(0,1)，则 ΣXᵢ² ~ χ²(n)。
• 正态总体下 (n−1)S²/σ² ~ χ²(n−1)，自由度为 n−1（样本均值占用一个约束）。
• E(χ²(k)) = k，D(χ²(k)) = 2k。

8. t 分布与 F 分布

• t 分布：T = Z/√(U/k) ~ t(k)，其中 Z ~ N(0,1)、U ~ χ²(k) 且独立；用于 σ 未知时均值的推断，(X̄ − μ)/(S/√n) ~ t(n−1)。
• F 分布：F = (U/n₁)/(V/n₂) ~ F(n₁, n₂)，两个独立 χ² 变量各自除自由度后相除；用于方差比检验。
• t 分布关于 0 对称，t(1) 就是柯西分布；k → ∞ 时 t 分布趋于标准正态。

三、易错点

1. 切比雪夫不等式方向写反（≤ 与 ≥）。
2. 中心极限定理误用于"独立但不同分布且方差无限"的情形。
3. S² 的分母记成 n（应为 n−1）。
4. χ² 自由度记成 n（应为 n−1）。
5. 认为 S² 的期望是 σ²/n。
6. F 分布两个自由度顺序颠倒。
7. 把"依概率收敛"当成"几乎处处收敛"。

四、备考建议

1. 三类分布（χ²、t、F）的构造式与自由度抄成一页。
2. 中心极限定理只记两个近似：和的分布、样本均值的分布。
3. 切比雪夫题套公式即可，不必推导。
4. 抽样分布题先判断"σ 已知还是未知"，再选正态还是 t。