数据结构与算法

2021-02-09 17:01:49
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数据结构与算法

算法(Algorithm)是指解题方案的准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说,能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷,或不适合于某个问题,执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

算法中的指令描述的是一个计算,当其运行时能从一个初始状态和(可能为空的)初始输入开始,经过一系列有限而清晰定义的状态,最终产生输出并停止于一个终态。一个状态到另一个状态的转移不一定是确定的。随机化算法在内的一些算法,包含了一些随机输入。

形式化算法的概念部分源自尝试解决希尔伯特提出的判定问题,并在其后尝试定义有效计算性或者有效方法中成形。这些尝试包括库尔特·哥德尔、Jacques Herbrand和斯蒂芬·科尔·克莱尼分别于1930年、1934年和1935年提出的递归函数,阿隆佐·邱奇于1936年提出的λ演算,1936年Emil Leon Post的Formulation 1和艾伦·图灵1937年提出的图灵机。即使在当前,依然常有直觉想法难以定义为形式化算法的情况。

特征

一个算法应该具有以下五个重要的特征:

1 有穷性(Finiteness)

算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止;

2 确切性(Definiteness)

算法的每一步骤必须有确切的定义;

3 输入项(Input)

一个算法有0个或多个输入,以刻画运算对象的初始情况,所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件;

4 输出项(Output)

一个算法有一个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的;

  1. 逻辑运算:或、且、非等运算
  2. 关系运算:大于、小于、等于、不等于等运算
  3. 数据传输:输入、输出、赋值等运算

二、算法的控制结构:一个算法的功能结构不仅取决于所选用的操作,而且还与各操作之间的执行顺序有关。

5 可行性

算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行的操作步骤,即每个计算步骤都可以在有限时间内完成(也称之为有效性)。

评定

同一问题可用不同算法解决,而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。

时间复杂度

算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。一般来说,计算机算法是问题规模n 的函数f(n),算法的时间复杂度也因此记做。
T(n)=Ο(f(n))

因此,问题的规模n 越大,算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关,称作渐进时间复杂度(Asymptotic Time Complexity)。

空间复杂度

算法的空间复杂度是指算法需要消耗的内存空间。其计算和表示方法与时间复杂度类似,一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比,空间复杂度的分析要简单得多。

正确性

算法的正确性是评价一个算法优劣的最重要的标准。

可读性

算法的可读性是指一个算法可供人们阅读的容易程度。 [1]

健壮性

健壮性是指一个算法对不合理数据输入的反应能力和处理能力,也称为容错性。

基础数据结构

  1. 字符串
  2. 数组
  3. 列表
  4. 链表
  5. 二叉树
  6. 霍夫曼编码
  7. 队列
  8. Set
  9. Map

基础算法

  1. 数学基础算法
    1. 二进制/位运算
  2. 分治法
  3. 二分法
  4. 宽度优先搜索
  5. 深度优先搜索
  6. 回溯法
  7. 双指针
  8. 动态规划
  9. 扫描线
  10. 快排

排序算法

排序算法 平均时间复杂度 最好情况 最坏情况 空间复杂度 排序方式 稳定性
冒泡排序 O(n2) O(n) O(n2) O(1) In-place 稳定
选择排序 O(n2) O(n2) O(n2) O(1) In-place 不稳定
插入排序 O(n2) O(n) O(n2) O(1) In-place 稳定
希尔排序 O(n log n) O(n log2 n) O(n log2 n) O(1) In-place 不稳定
归并排序 O(n log n) O(n log n) O(n log n) O(n) In-place 稳定
快速排序 O((n log n) O(n log n) O(n2) O(log n) In-place 不稳定
堆排序 O((n log n) O(n log n) O(n log n) O(1) In-place 不稳定
计数排序 O(n + k) O(n) O(n2) O(k) In-place 稳定
桶排序 O(n + k) O(n) O(n2) O(n + k) In-place 稳定
基数排序 O(n * k) O(n * k) O(n * k) O(n + k) In-place 稳定

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